Normalement, on ne peux avoir qu'un seul processus Thunderbird lancé en même temps.
Cependant, on peux forcer plusieurs processus (et donc plusieurs fenêtres) avec le paramètre -no-remote pour par exemple ouvrir un profil (le mien par ex) en même temps qu'un autre (celui de madame par ex) histoire de pas mélanger mes torchons avec les serviettes de madame

Mais si vous n'utilisez pas ce paramètre et que vous n'avez qu'un seul processus lancé mais que vous vous retrouvez avec deux fenêtres Thunderbird et deux icônes en barre de notification, alors il est très probable que vous soyez victime d'un bug du plugin MinimizeToTray (et ses dérivés) !

Pour s'en débarraser procédez comme suit:
- Désactivez le plugin
- Redémarrer Thunderbird
- Fermez une des deux fenêtres (la seconde devrait rester ouverte)
- Réactivez le plugin
- Redémarrez Thunderbird (pour vérifier qu'une seule fenêtre apparaît)